数学念念维材干对孩子来说相等紧要，它触及到逻辑推理、问题处治、详尽念念维等方面。培养孩子的数学念念维材干不仅有助于他们在学校得回好成绩，还能为他们的将来生涯和事业发展打下坚实的基础。那么，作为家长或拔擢者，咱们应该如何灵验地培养孩子的数学念念维材干呢？
不妨望望英国皇家学会会员、英国沃里克大学数学系荣退训诫伊恩•斯图尔特的看法。
撰文 | 伊恩·斯图尔特（Ian Stewart）、戴维·托尔（David Tall）
译者 | 姜喆
数学并非由野神思虚构野心而来，而是一项东谈主类行径，需要东谈主脑基于千百年来的资历，天然也就伴跟着东谈主脑的一切上风和不及。你不错说这种念念维经过是灵感和古迹的起源，也不错把它算作一种亟待改进的造作，但咱们别无弃取。
东谈主类天然不错进行逻辑念念考，但这取决于如何一语气问题。一种是一语气神态数学评释每一步背后的逻辑。即便咱们不错查验每一步的正确性，却可能如故无法明显各步如何权衡到通盘，看不懂评释的念念路，想欠亨别东谈主如何得出了这个评释。
而另一种一语气是从全局角度而言的——只要一眼便能一语气统共论证经过。这就需要咱们把想法融入数学的全体律例，再把它们和其他限制的肖似想法权衡起来。这种全面的掌持不错让咱们更好地一语气数学这一全体，并不断跳跃——咱们在现时阶段的正确一语气很可能会为将来的学习打下精湛基础。
反之，如果咱们只知谈“解”数学题，而不了解数学学问之间的关系，便无法天真期骗它们。
这种全局念念维并非只是为了一语气数学之好意思或者启发学生。东谈主类平方会犯错：咱们可能会搞错事实，可能作念错判断，也可能出现一语气偏差。在分步评释中，咱们可能无法发现上一步推不出下一步。但从全局来看，如果一个造作推出了和大地点相背的论断，这一悖论就能领导咱们存在造作。
深圳市规划和自然资源局组织制订了《深圳市国土空间生态修复2024年度实施计划》，统筹推进5类43个生态修复项目，新增生态修复面积15.27平方公里，印发了《深圳市国土空间生态修复规划传导指引》《五指耙山廊等片区级生态修复专项规划》，指导各区编制区级生态保护修复规划，建立市级生态修复项目库。
以《深圳市20大先进制造业园区空间布局规划》为依据，《深圳市战略性新兴产业与未来产业空间布局规划（2024—2035年）》落实国土空间开发保护格局，衔接法定图则工业用地布局，结合全市重大产业项目选址及可释放工业用地潜力分布等情况，局部优化细化先进制造业园区空间范围，在宝安、龙岗、龙华、坪山、光明、盐田、大鹏新区、深汕特别合作区等8个区布局20个先进制造业园区，引导战略性新兴产业与未来产业制造环节集中布局，总用地面积约333平方公里。
比如，假定 100 个十位数的和是 137 568 304 452。咱们有可能犯野心造作，得到 137 568 804 452 这个效果，也可能在写下效果时错抄成 1 337 568 804 452。
这两个造作可能齐不会被发现。要想发现第一个造作，很可能需要一步时势从新野心，而第二个造作却能通过算术的律例镌汰地找到。因为 9 999 999 999×100=999 999 999 900，是以 100 个十位数的和最多也只可有 12 位，而咱们写下的却是个十三位数。
不管是野心如故其他的东谈主类念念维经过，把全局一语气和分步一语气伙同起来是最可能匡助咱们发现造作的。学生需要同期掌持这两种念念维方式，才能完全一语气一门学科并灵验地实践所学的学问。要分步一语气相等浅薄，咱们只需要把每一步单独拿出来，多作念陶冶，直到充分一语气。全局一语气就贵重多，它需要咱们从弥远孤立信息中找到逻辑律例。
即便你找到了一个妥贴现时情境的律例，也可能出现和它相背的新信息。有些本事新信息会出错，但以前的资历也平方不再适用于新的情境。越是前所未有的新信息，就越可能超脱于既存的全面一语气以外，导致咱们需要更新旧的一语气。
1
办法的造成
在念念考具体限制的数学之前，不错先了解一下东谈主类如何学习新的念念想。因为基础性问题需要咱们从新念念考自认为了解的念念想，是以明显这个学习经过就尤为紧要。每当咱们发现我方并莫得完全了解这些念念想，或者找到尚未探明的基本问题时，咱们就会感到不安。不外大可不必焦虑，绝大部分东谈主齐有过相通的经历。
所少见学家在刚降生时齐很稚嫩。这天然听起来是句空论，却默示了很紧要的一丝——即即是最老练的数学家曾经一步时势学习数学办法。遭受问题或者新办法时，数学家需要在脑海中仔细念念考，回忆以前是否碰到过肖似的问题。这种数学探索、创造的经过可莫得一丝逻辑。
唯有当念念绪的齿轮相互啮合之后，数学家才能“嗅觉”到问题或者办法的档次。随后便不错造成界说，进行推导，最终把必要的论据打磨成一个简易精妙的评释。
咱们以“颜料”的办法为例，作念一个科学类比。颜料的科学界说简略是“单色光芒照耀眼睛时产生的嗅觉”。咱们可不可这样去教孩子。（“安杰拉，告诉我你的眼睛在接收到这个棒棒糖发出的单色光后产生了什么嗅觉……”）率先，你不错先教他们“蓝色”的办法。你不错一边给他们展示蓝色的球、门、椅子等物体，一边告诉他们“蓝色”这个词。然后你再用相通的方法教他们“红色”“黄色”和其他颜料。
一段时分之后，孩子们就会逐渐一语气颜料的风趣。这时如果你给他们一个没见过的物品，他们可能就会告诉你它是“蓝色”的。接着再训诫“深蓝”和“浅蓝”的办法就浅薄多了。
叠加这种经过许屡次后，为了建立不同颜料的办法，你还需要再从新来一遍。“那扇门是蓝色的，这个盒子是红色的，那朵毛茛是什么颜料的呢？”如果孩子们能酬报“黄色”，那就证实他们的脑海中已经造成了“颜料”这一办法。
孩子们不断成长，不断学习新的科学学问，可能有一天他们就会见到光芒透过棱镜造成的光谱，然后学习光芒的波长。在经过满盈的西席，成为练习的科学家之后，他们就能够精确地说出波长对应的颜料。但对“颜料”办法的精确一语气并不可匡助他们向孩子解释“蓝色”是什么。在办法造成的阶段，用波长去明晰明显地界说“蓝色”是无谓的。
数学办法亦然如斯。读者的头脑中已经建立了弥远的数学办法：解二次方程、绘画像、等比数列乞降等。他们也能熟练地进行算术运算。咱们的指标就是以这些数学一语气为基础，把这些办法完善到更复杂的层面。咱们会用读者生涯中的例子来先容新办法。跟着这些办法不断建立，读者的资历也就不断丰富，咱们就能以此为基础更进一步。
天然咱们完全不错不借助任何外部信息，用公理化的方法从空集运转构建统共数学体系，但这对于尚未一语气这一体系的东谈主来说几乎就是无字天书。专科东谈主士看到书里的一个逻辑构造之后，可能会说：“我猜这是‘0’，那么这就是‘1’，然后是‘2’……这一堆笃定是‘整数’……这是什么？哦，我明显了，这笃定是‘加法’。”但对于新手来说，这完全就是鬼画符。要想界说新办法，就要用满盈的例子来解释它是什么，能用来作念什么。天然，专科东谈主士平方齐是给出例子的那一方，可能不需要什么一语气上的匡助。
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基模
数学办法就是一组系统的领悟——它们源于已经建立的办法的资历，以某种方式相互关联。神志学家把这种系统的领悟称作“基模”。举例，孩子不错先学习数数（“一二三四五，上山打老虎”），然后过渡到一语气“两块糖”“三条狗”的风趣，终末意志到两块糖、两只羊、两端牛这些事物存在一个共通点——也就是“2”。那么在他的脑海中，就建立起了“2”这一办法的基模。
这一基模起首于孩子自身的资历：他的两只手、两只脚，上周在原野里看到的两只羊，学过的顺溜溜……你会骇怪地发现，大脑需要把许多信息归并到通盘才能造成办法或者基模。
孩子们接着就会学习浅薄的算术（“假定你有五个苹果，给了别东谈主两个，目下还剩几个”），最终建立起基模，来酬报“5 减 2 是若干”这种问题。算术有着相等精确的性质。如果 3 加 2 等于 5，那么 5 减 2 也就等于 3。孩子们在一语气算术的经过中就会发现这些性质，之后他们就不错用已知的事实去推导新的事实。
假定他们知谈 8 加 2 等于 10，那么 8 加 5 就不错一语气为 8 加 2 加 3，那么这个和就是 10 加 3，效果是 13。孩子们就这样逐渐地建立了整数算术这一内容丰富的基模。
如果你这时问他们“5 减 6 得若干”，他们可能会说“不可这样减”，或者心想成年东谈主怎样会问这种傻问题，莫名地咯咯笑。这是因为这个问题不相宜孩子们脑海中减法的基模——如果我唯有 5 个苹果，那不可能给别东谈主 6 个。而在学习过负数之后，他们就会酬报“ -1”。为什么会有这种变化呢？这是因为孩子们原有的“减法”基模为了处理新的办法产生了变化。
在看到了温度计刻度或是了解了银行业务之后，对于“减法”办法的一语气就需要调动。在这个经过中，可能仍会心存困惑（ -1 个苹果是什么样的？），但这些困惑最终齐会得到令东谈主安详的解释（苹果数目和温度计读数存在本色分手）。
学习经过有很大一部分时分就是让现存的基模变得更复杂，从而能够搪塞新办法。就像咱们刚刚说的，这个经过如实会伴跟着猜忌。如若能毫无困惑地学习数学该有多好。
关联词很可怜，东谈主不可能这样学习。神话 2000 多年前，欧几里得对托勒密一生说：“几何学习莫得捷径。”除了意志到我方的困惑，了解困惑的成因也很紧要。在阅读本书的经过中，读者将会屡次感到困惑。这种困惑有时源于作家的断然，但一般可能是因为读者需要修正个东谈主的领悟才能一语气更一般的情形。
这是一种开发性的困惑，它标志着读者得回了跳跃，读者也应当欢然给与——如若困扰太久那就另当别论了。相似，在困惑得到处治后，一种一语气彻底的嗅觉就会伴跟着莫大的野蛮鬼使神差，彩娱乐注册CLY588.VIP就好像完成了一幅拼图。数学如实是一种挑战，但这种终了统统和洽的嗅觉让挑战成为了悠闲咱们审好意思需求的阶梯。
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一个例子
发展新不雅念的经过不错用数学办法的发展史来证实。这段历史自身亦然一种学习经过，只不外它攀扯了许多东谈主。负数的引入招致了弥远反对声息：“你不可能比一无统共更穷了。”但在如今的金融全国，借记和信贷的办法早就让负数融入了日常生涯。
另一个例子是复数的发展。所少见学家齐知谈，不管是正数如故负数，其平方齐一定是正数。戈特弗里德·莱布尼茨天然也不例外。如果 i 是 -1 的平方根，那么i2=-1，因此 i 既不是正数，也不是负数。莱布尼茨认为它具有一种相等玄妙的性质：它是一个非零数，不大于零，也不小于零。东谈主们因此对于复数产生了弘大的困惑和不信任感。这种嗅觉于今仍然存在于部分东谈主心中。
复数无法镌汰地融入大多数东谈主对于“数”的基模，学生们第一次见到它经常也会感到抵御。当代数学家需要借助一个扩展的基模来让复数的存在变得合理。
假定咱们用泛泛的方式把实数标在一根轴上：
在图 1-1 中，负数位于 0 的左边，正数位于 0 的右边。那 i 在哪？它不可去左边，也不可去右边。那些不给与复数的东谈主就会说：“这就证实它哪也不可去。因为数轴上莫得任何地方不错标记 i，是以它不是数。”
然而咱们并非毫无方针。咱们不错用平面上的点来露出复数。（1758 年，弗朗索瓦·戴维认为把虚数画在和实轴垂直的方进取是毫无风趣的。幸而其他数学家和他意见相左。）实数位于实轴上，i 位于原点上方一个单元长度的地方。而从原点动身，沿实轴前进 x 个单元，再进取出动 y 个单元（如果 x 和 y 为负数，就朝互异地点出动），就得到了 x + iy 这个数。因为 i 在实轴上方一个单元的地方，而不在实轴上，是以就不可用“i 不存在于实轴上的任何位置”来反对 i 的存在了（见图 1-2）。这样扩展后的基模就能毫无艰苦地聘用令东谈主不安的复数。
这种作念法在数学中十分常见。当特殊情形被践诺为一般情形之后，有些性质依然存在。举例，复数的加法和乘法依然悠闲交换律。但原基模的某些性质（比如权衡实数的步调的性质）在践诺后的基模（这里指复数的基模）中就不存在了。
这种舒服相等弥远，并不限于学生身上，亘古亘今的数学家齐曾有所体验。如果你商量的限制业已练习，办法齐得到了解释，况且开发出的方法也足以处治常见问题，那么教学责任就不会很艰苦。学生只需要一语气旨趣，进步熟练度即可。
但如果像是把负数引入用天然数来计数的全国，或是在解方程时遭受复数那样，需要让数学系统发生根人道的变化时，民众齐会感到困惑：“这些新玩意儿是怎样回事？和我想的根柢不一样啊！”
这种情况会带来弘大的渺茫。有些东谈主能将强地、带着立异念念维聘用并掌持新学问；有些东谈主就只可深陷急躁，甚而对新学问产生反感、抵御的心扉。一个最盛名的例子就发生在 19 世纪末期，而它最终也调动了 20 世纪和 21世纪的数学。
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天然数学与造成数学
数学发祥于计数和测量等行径，用于处治现实全国的问题。古希腊东谈主意志到绘图和计数有着更为难懂的性质，于是他们建立了欧氏几何和质数表面。即便这种柏拉图式的数学追求完整的图形和数，这些办法仍然是和现实关系联的。这种状况延续了千年。
艾萨克·牛顿在商量重力和天体畅通时，东谈主们把科学称为“天然玄学”。牛顿的微积分建立在古希腊几何和代数之上，尔后者恰是现实中算术运算的践诺。
这种基于“现实中发生的事件”的数学络续到了 19 世纪末。其时数学商量的焦点从对象和运算的性质变成了基于鸠合论和逻辑评释的神态数学。这种从天然数学到神态数学的历史性过渡包含了视角的彻底调动，也带来了对于数学念念维的深刻洞见。它对于从中小学的几何和代数学习向高档拔擢阶段的神态数学学习的转动有着至关紧要的作用。
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基于东谈主类资历建立神态化办法
跟着数学变得越来越复杂，新办法中有一些是旧学问的践诺，有一些则是全新的念念想。在从中学数学过渡到神态数学的经过中，你可能会以为从零运转学习神态化的界说以及如何从基欢喜趣进行神态化的推导才相宜逻辑。但是以前 50 年的资历告诉咱们，这种作念法并不理智。
20 世纪 60 年代曾经有东谈主尝试在中小学用全新的方法造就数学，也就是基于鸠合论和详尽界说来训诫。这种“新型数学”以失败告终。这是因为，天然行家们能一语气详尽的奥密，但是学生们需要一个连贯的学问基模才能一语气界说和评释。
现如今咱们对于东谈主类发展数学念念维的经过有了更深刻的长远，因此得以从现实商量中接纳训导，来一语气为什么学生们对于办法的一语气和教材想发扬的风趣有轻飘偏差。咱们提到这一丝，亦然为了饱读舞读者仔细念念考笔墨的准确含义，在办法之间建立细腻的数学关联。
你不错仔细阅读评释，养成给我方解释的民俗。你要向我方解释明晰为什么某个办法如斯界说，为什么评释中的前一滑不错推出下一滑。（参见附录中对于自我解释的部分。）最近的商量露出，尝试念念考、解释定理的学生从永恒来看会有所得益。曾经有东谈主使用眼部跟踪开发来商量学生阅读本书第 1 版的方式。商量发现花更多时分念念考据明的要津要领和在后续磨练中得回更高分数是强关系的。咱们热烈推选读者也这样作念，奋勉把学问权衡起来能让你建立更连贯的学问基模，让我方始终受益。
要理智地对待学习经过。在实践中，咱们不老是能够为遭受的每个办法给出精确的界说。比如，咱们可能会说鸠合是“明确界说的一组事物”，但这其实是在规避问题，因为“组”和“鸠合”在此处有相通的风趣。
在学习数学基础时，咱们要准备好一步一时势学习新办法，而不是一上来就去消化一个严实的界说。在学习经过中，咱们对于办法的一语气将愈发复杂。有时，咱们会用严谨的说话从新讲解之前不解确的界说（比如“黄色是波长为 5500Å的光的颜料”）。新界说看起来会比作为基础的旧界说好得多，也更具招引力。
那一运转就学习这个更好、更有逻辑的界说不就好了吗？其实或然如斯。
本书的第一部分将从中小学学习过的办法运转。咱们会念念考如何通过标出不同的数一步步建立数轴。这还是过从天然数（1、2、3……）运转，然后是天然数之间的分数，接着咱们延迟到原点两侧的正负天然数（整数）和正负分数（有理数），终末扩展到包含有理数和放荡数的全体实数。咱们还会保养如何天然地进行整数、分数、少许的加减乘除运算，异常是那些将成为不同数系的神态化公理基础的性质。
第二部分将先容妥贴数学家所使用的评释办法的鸠合论和逻辑。咱们的造就将兼顾逻辑的精确性和数学上的洞见。咱们要领导读者，不仅要保养界说的内容，还要防备不要因为以前的资历，就臆断某些性质的存在。比如，学生可能学习过y=x2或者f(x)=sin3x这样能用公式抒发的函数。然而函数的一般界说并不需要公式，只要对于（特定鸠合内的）每一个 x 值，齐存在独一双应的 y 值即可。
这个更一般的界说不仅适用于数，还适用于鸠合。一个被界说的办法所具有的性质必须基于它的界说，用数学评释的方式推导出来。
第三部分将从天然数的公理和数学归纳法运转，渐渐斟酌一系列数系的公理化结构。接着，咱们将展示如何用鸠合论的方法，从基欢喜趣构建出整数、有理数和实数等数系。最终，咱们将得到一系列公理，它们界说了实数系统，包括两种悠闲特定算术和缓序性质的运算（加法和乘法），以及“完备性公理”。
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神态化系统和结构定理
这种从悉心挑选的公理构建神态化系统的方法不错进一步践诺，从而笼罩更多新的情况。和从日常生涯中养殖出的系统比拟，这种系统有着弘大上风。
只要一个定理不错通过神态化评释从给定的公理推导出来，它在职何悠闲这些公理的系统中就齐建立。不管系统新旧齐是如斯。神态化的定理是不会逾期的。
这些定理不仅适用于咱们熟知的系统，还适用于悠闲给定公理的任何新系统。
这样就没必要一遭受新系统就从新验证我方的不雅念了。这是数学念念维的一个紧要跳跃。
另一个不那么彰着的跳跃在于，神态化系统推导出的某些定理不错评释，该系统的一些性质使它不错用某种方法图形化，而该系统的另一些性质让它的一些运算不错用鲜艳化方法完成。这样的定理被称为结构定理。比如，任何完备有序域齐领有独一的不错用数轴上的点或者少许来露出的结构。
这就为神态化评释带来了全新的功能。咱们不单是是花弥远的篇幅来发展一套自洽的神态化评释方法，咱们其实发展出了一套交融神态化、图形化和鲜艳化运算的念念维方式，把东谈主类的创造力和神态化方法的精确性伙同了起来。
7
更天真地使用神态数学
在第四部分，咱们将先容如安在不爱怜境下应用这些更天简直方法。率先咱们会盘考群论，然后会盘考从有限到无限的两种膨胀。一种是把元素个数的办法从有限集践诺到无限集：如果两个鸠合的元素逐个双应，就称它们具有相通的基数。基数和老例的元素个数有许多共通的性质，但它也有一些生疏的性质。
举例，咱们不错从一个无限集（比如说天然数集）中拿走一个无限子集（比如说偶数集），剩下的无限子集（奇数集）和原鸠合有着相通的基数。因此，无限基数的减法和除法无法独一界说。一个无限基数的倒数并不是基数。
那么一个无限的数在一个系统内有倒数，在另一个系统内却莫得。但仔细念念考之后，咱们就不应该骇怪于这些彰着矛盾的事实。咱们用来计数的天然数系统原本莫得倒数，有理数和实数系统却有倒数。如果咱们弃取一些性质，践诺不同的系统，那么得到不同的践诺也不及为奇。
这就得到了一个紧要的论断：数学是不断发展的，看起来不可能的办法可能在一个全新的神态框架下，在合适的公理下就能够建立了。
一百多年前，这种神态化的数学方法逐渐地流行了起来。而菲利克斯·克莱因写下了这样一段话：
“咱们今天对于数学基础的态度，不同于几十年以前；咱们今天可能算作最终原则来叙述的东西，过了一段时分也势必会被卓著。”
而在归拢页上他还提到：
“许多东谈主认为教一切数学内容齐不错或必须从新到尾聘用推导方法，从有限的公理动身，借助逻辑推导一切。某些东谈主想依靠欧几里得的泰斗来悉力珍惜这个方法，但它天然不相宜数学的历史发展情况。现实上，数学的发展是像树一样的，它并不是有了细细的小根就一直往上长，倒是一方面根越扎越深，同期以相通的速率使枝杈进取生发。撇开譬如不说，数学也恰是这样，它从对应于东谈主类正常念念维水平的某一丝运转发展，证据科学自身的条件及其时弥远的酷爱的条件，有时朝着新学问地点发展，有时又通过对基本原则的商量朝着另一地点进展。”
本书也将像这样，从学生在中小学所学学问运转，在第二部分深入挖掘基本念念想，在第三部分顶用这些念念想构建数系的神态结构，在第四部分把这些方法应用到更多神态结构上。而在第五部分，咱们对于数学基础的先容将告一段落，转而深入盘考基本逻辑旨趣的发展，从而维持读者将来在数学方面的成长。
